財經(jīng)365訊 愛好博彩業(yè)和投資學(xué)的同學(xué)應(yīng)該都對著名的凱利公式不陌生。這是一個通過計算 edge 和 odds 來選擇最佳投注比例的公式，目的是長期獲得最高的盈利。
公式中：
f = 應(yīng)該放入投注的資本比值
p = 獲勝的概率
q = 失敗的概率
b = 賠率
其實(shí)公式的作者，John Larry Kelly，并不是一個資深賭徒，而是一位著名的物理學(xué)家，他發(fā)明這個公式的時候正是著名的 AT&T 的 Bell Lab 中的一名研究科學(xué)家，研究方向是當(dāng)時還算新興前沿的電視信號傳輸協(xié)議。
這樣一個理論科學(xué)家是如何把名字和博彩聯(lián)系在一起的呢？那就不能不看下這本書了。
William PoundStone, 把 Kelly 公式和它發(fā)明者的故事寫入了他的作品，F(xiàn)ortune’s Formula, the untold story of the scientific betting system that beat the casinos and Wall Street.
1955 年 6 月，美國出現(xiàn)了一個極其有名的電視節(jié)目，叫做 64000 dollar question. 答題者通過不斷答對題來累積獎金，一時風(fēng)靡全美，黃金時段收視率達(dá)到 85%，各路山寨節(jié)目不斷。
這樣一個 quiz show 迅速吸引了場外下注來賭贏家的賭盤。這檔節(jié)目的錄制是在紐約，東海岸現(xiàn)場直播，而西海岸則有延時。當(dāng)時的新聞爆出一些丑聞，有關(guān)西海岸的賭徒通過電話提前得知結(jié)果，趕在了西海岸直播前下注。
John Kelly 看了新聞之后，他想到這個如何使具備一定內(nèi)幕消息 (private wire) 但是同時有一部分雜音 (noise) 的賭徒最大化長期獲益的問題，可以使用他們實(shí)驗(yàn)室關(guān)于咨詢學(xué)和噪音傳遞研究的公式來解決。于是，他以一個賽馬的模型，推出了凱利公式的雛形。
John Kelly 的理論是這樣的，對于有一定 private wire 的賽馬人來說，第一個自然的想法當(dāng)然是放入全部的資金，但是這樣就會造成萬一輸?shù)粞緹o歸的慘境。而在 Kelly 想要解決的這個問題中，在任何一個時刻輸?shù)羧抠Y金顯然是不符合最大化累積收益的需求的。
真正應(yīng)該關(guān)心的是長期累積的收入 (compounding return)，對于累積的收益來說，最后的結(jié)果只和輸贏的局?jǐn)?shù)有關(guān)，而和輸贏的順序無關(guān)。所以他推出了一個最佳的投入倉位比，來最大化長期的累積收益：
bet = edge / odds = 預(yù)期獲益／獲益回報
這里的 edge 在賭博中可以理解為 獲勝的概率＊賠率 - 失敗的概率，當(dāng) edge 的數(shù)字為正的時候，這就是值得下注的比賽，而 edge 為 0 或者負(fù)數(shù)的情況說明賭徒不具備 edge, 不應(yīng)該下注 (applies to most of games in casino)
而 odds 則是賠率，我們更可以把它理解為一種公眾對概率的估計，是公開的消息。
我們可以用 kelly formula 模擬這樣一種情況：小明現(xiàn)在有 100 元的起始資金，他現(xiàn)在將要投硬幣 4 次，每一次他投出硬幣為正面的時候，將獲得 6 倍資金回報（1 賠 5），當(dāng)他投出硬幣為反面，陪光。
請問小明要如何分配每次下注資金，才能最大化他 4 次投幣之后的收益 (maximize geometric mean) 呢？
根據(jù) Kelly 公式計算，我們可以建立起這樣一個 pascal triangle 正反面的概率各為 50%，edge = 0.5*5-0.5 = 2, odds 為 5，最佳倉位為 40%，可以看到最終在 16 個可能出現(xiàn)的結(jié)果中 (4 次投擲)，12.96 和 8100 出現(xiàn) 1 次，64.8 和 1620 出現(xiàn) 4 次，324 出現(xiàn) 6 次，16 次結(jié)果的 geometric mean 為 324 - Kelly 公式的目的正是最大化這些結(jié)果的 geometric mean。
由于 Kelly 公式著眼于長期回報率和風(fēng)險的控制，所以天然就吸引投資人想要把它應(yīng)用在投資當(dāng)中。
比如著名的傳奇數(shù)學(xué)家 Edward Thorp 讀了 John Kelly 的論文之后，先是自學(xué) Fortran 用 IBM 大型機(jī)開發(fā)了一套專門用于 21 點(diǎn)的算法（感興趣的同學(xué)可以去看下電影 21，電影里的 card counting 的方法正是獲得 edge 的來源），帶上 John Kelly 的導(dǎo)師在拉斯維加斯大把吸金。
之后又專門成立了一個 hedge fund - Princeton Newport Partners. 看看這個 fund 的表現(xiàn)吧
Kelly Formula 到底在投資中起到了哪些作用，又有哪些可以研究發(fā)掘的領(lǐng)域呢？
Kelly Formula 在倉位控制中的應(yīng)用
在股票市場中，kelly formula 的形式和賭博中稍有不同，因?yàn)槭≈笥幸粋€ expected loss, 我們將公式修改為 f = (bp - cq) / (bc)，來做一個簡單的回測。
假定賺錢 (p) 賠錢概率 (q = 1-p) 一樣，均為 0.5，我們認(rèn)為凈贏率 (b) 為最高價 / 當(dāng)前價 -1，凈損失率 (c) 為 1- 最低價 / 當(dāng)前價。
如果當(dāng)前價大于一年內(nèi)最高價，滿倉，如果當(dāng)前價小于一年內(nèi)最低價，空倉，其他情況使用之前得到的 f 計算出持倉比例(0-1 之間)，每周調(diào)倉。
我們挑選了單只股票作回測，回測的參照物是該股票的買入持有策略（即為價格曲線），看看使用 Kelly 公式調(diào)節(jié)倉位有什么樣的效果。
在此基礎(chǔ)上，我們再嘗試一些優(yōu)化，
p=q=0.5 的假設(shè)太簡單粗暴啦， 我們來根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計過去一年中 5 個交易日內(nèi)的漲跌概率。
加入新的標(biāo)準(zhǔn)，統(tǒng)計過去一年內(nèi)該股票的一周最大漲跌幅，以此計算 b 和 c，得到的 f 與之前 f 的求平均。
設(shè)定止損。如果一周內(nèi)跌幅超過 8%，則清倉。
看看是不是優(yōu)化以后的代碼會有更好的表現(xiàn)呢？
有興趣的同學(xué)可以在這里克隆代碼 Kelly Formula 的倉位控制（https://www.ricequant.com/community/topic/598/kelly-formula-簡單應(yīng)用）
Kelly Formula 在選股和建立投資組合方面的應(yīng)用
Kelly 公式在投資組合的應(yīng)用中，也經(jīng)常以 f = excess return/variance 的形式出現(xiàn)，f 的數(shù)值越高也就是投資的價值越大：
1. 計算股票池中每只股票的 Kelly leverages 作為排序 score（這里過去一年內(nèi)每日收益的 mean/var）
2. 從大到小進(jìn)行排序，選出前 10 名的股票，價格在 5 日均線之上時才購買，平均購買，每月調(diào)倉。
在此基礎(chǔ)上仍然有進(jìn)步的空間，因?yàn)槲覀兺ㄟ^ kelly score 選擇股票的時候并未考慮之間的相關(guān)性，可以考慮在篩選出股票之后用 covariance matrix 重新計算 kelly 倉位并按照計算倉位比值來調(diào)倉。
有興趣的朋友可以自己克隆現(xiàn)在的策略 Kelly Formula 選股 （https://www.ricequant.com/community/topic/611/kelly-criterion進(jìn)行選股/2）來進(jìn)一步優(yōu)化。
John Larry Kelly (1923 - 1965) 42 歲的時候就不幸去世了，我猜想對于他個人來說，更希望被人銘記的不是拉斯維加斯賭場和 hedge fund 之類的掘金工具，而是他作為科學(xué)家最驕傲的一個時刻 － 1961 年，和同事 Gertsman 一起，在 Bell Lab 用 IBM704 合成了人工聲音（Synthesize Speech），Kelly 的 vocoder 制作了歌曲 Daisy Bell. 史上第一首由電腦合成的音樂.
就在這一年，一個叫做 Arthur Clarke 的作家訪問了 Bell Lab, 被這個人工合成的聲音和音樂震驚，將這一幕寫入了他的科幻小說。
又過了七年，一個叫做 Kubrike 的導(dǎo)演讓一臺瀕死的電腦 HAL 在科幻電影里把這首歌曲唱了出來，這是對科學(xué)家 Kelly 最好的致敬和緬懷。
到此，小編要和廣大的投資者朋友們說再見啦，大家是不是很舍不得小編呢？不用傷心，不用難過，大家可以閱讀下面的幾篇文章，財經(jīng)365的小編永遠(yuǎn)伴隨著您??！更多的資訊請關(guān)注財經(jīng)365課堂頻道?。?！
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